Colégio Estadual “Fausto Cardoso”
Disciplina: Matemática 3ª unidade
Profª Elen Carla
2 º anos A, B e D
Revisão – 07/01/2021
Análise combinatória
A análise combinatória ou combinatória é a parte da Matemática que estuda
métodos e técnicas que permitem resolver problemas relacionados com contagem.
Muito utilizada nos estudos sobre
probabilidade, ela faz análise das possibilidades e das combinações possíveis
entre um conjunto de elementos.
Fatorial
O fatorial de um
número natural é definido como o produto deste número por todos os seus
antecessores. Utilizamos o símbolo ! para
indicar o fatorial de um número.
Define-se
ainda que o fatorial de zero é igual a 1.
Exemplo
0! = 1
1! = 1
3! = 3.2.1 = 6
7! = 7.6.5.4.3.2.1 = 5 040
10! = 10.9.8.7.6.5.4.3.2.1 = 3 628 800
Note
que o valor do fatorial cresce rapidamente, conforme cresce o número. Então,
frequentemente usamos simplificações para efetuar os cálculos de análise
combinatória.
Permutação simples
As permutações são
agrupamentos ordenados, onde o número de elementos (n) do agrupamento é igual
ao número de elementos disponíveis.
Note
que a permutação é um caso especial de arranjo, quando o número de elementos é
igual ao número de agrupamentos. Desta maneira, o denominador na fórmula do
arranjo é igual a 1 na permutação.
Assim
a permutação é expressa pela fórmula:
Exemplo
Para
exemplificar, vamos pensar de quantas maneiras diferentes 6 pessoas podem se
sentar em um banco com 6 lugares.
Como
a ordem em que irão se sentar é importante e o número de lugares é igual ao
número de pessoas, iremos usar a permutação:
Logo, existem 720 maneiras
diferentes para as 6 pessoas sentarem neste banco.
Exemplo:
Considere
a palavra DILEMA e determine:
a)
O
número total de anagramas
P6 = 6! = 6.5.4.3.2.1= 720
b)
O
número de anagramas que começa com a letra D
Para calcular fixamos a letra D e
permutamos as demais 5 letras, logo:
P5 = 5.4.3.2.1= 120
Arranjo simples
A análise
combinatória estuda dois tipos de agrupamentos: Arranjos e combinações. Sendo
que diferem em arranjos simples, combinações simples.
Arranjos são agrupamentos nos quais a ordem dos seus elementos faz a diferença.
Por exemplo, os números de três algarismos formados pelos elementos {1, 2 e 3}
são:
312,
321, 132, 123, 213, 231
Esse agrupamento é um
arranjo, pois a ordem dos elementos 1, 2 e 3 diferem. E é considerado simples,
pois os elementos não se repetem.
Para que tenhamos arranjos simples é preciso ter um conjunto de elementos
distintos com uma quantidade qualquer de elementos, sendo que os arranjos
simples formados irão possuir n elementos, sendo que essa quantidade será igual
ou menor que a quantidade de elementos do conjunto.
Quantas “palavras” (com sentido ou não) de 5 letras distintas podemos formar
com as 20 primeiras letras do nosso alfabeto?
Não é necessário montar todas os arranjos possíveis para saber a sua
quantidade, basta aplicar a fórmula:
A n,p =
n!
(n – p)!
Sendo
que o conjunto é formado por 20 elementos (n = 20) que serão unidos de 5 em 5
(p = 5). Substitua a fórmula.
Combinação simples
Na
combinação simples, a ordem dos elementos no agrupamento não interfere. São
arranjos que se diferenciam somente pela natureza de seus elementos. Portanto,
se temos um conjunto A formado por n elementos tomados p a p, qualquer
subconjunto de A formado por p elementos será uma combinação, dada pela
seguinte expressão:
Por exemplo, considere um conjunto com seis elementos que serão tomados
dois a dois:
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