Progressão Aritmética (P.A.)
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Definição de uma Progressão Aritmética (P.A.):
A Progressão Aritmética (P.A.) é uma sequência de números onde a diferença entre dois termos consecutivos é sempre a mesma. Essa diferença constante é chamada de razão da P.A. Sendo assim, a partir do segundo elemento da sequência, os números que surgem são resultantes da soma da constante com o valor do elemento anterior. Isso é o que a diferencia da progressão geométrica (P.G.), pois nesta, os números são multiplicados pela razão, enquanto na progressão aritmética, eles são somados.
As progressões aritméticas podem apresentar um número determinado de termos (P.A. finita) ou um número infinito de termos (P.A. infinita).
Para indicar que uma sequência continua indefinidamente utilizamos reticências, por exemplo:
a sequência (4, 7, 10, 13, 16, ...) é uma P.A. infinita.
a sequência (70, 60, 50, 40, 30, 20, 10) é uma P.A. finita.
Cada termo de uma P.A. é identificado pela posição que ocupa na sequência e para representar cada termo utilizamos uma letra (normalmente a letra a) seguida de um número que indica sua posição na sequência.
Por exemplo, o termo a4 na P.A (2, 4, 6, 8, 10) é o número 8, pois é o número que ocupa a 4ª posição na sequência.
Classificação de uma P.A.
De acordo com o valor da razão, as progressões aritméticas são classificadas em:
Constante: quando a razão for igual a zero. Por exemplo: (4, 4, 4, 4, 4...), sendo r = 0.
Crescente: quando a razão for maior que zero. Por exemplo: (2, 4, 6, 8,10...), sendo r = 2.
Decrescente: quando a razão for menor que zero (15, 10, 5, 0, - 5,...), sendo r = - 5
Propriedades da P.A.
1ª propriedade:
Em uma P.A. finita, a soma de dois termos equidistantes dos extremos é igual à soma dos extremos.
Exemplo:
2ª propriedade:
Considerando três termos consecutivos de uma P.A., o termo do meio será igual a média aritmética dos outros dois termos.
Exemplo:
3ª propriedade:
Em uma P.A. finita com número de termos ímpar, o termo central será igual a média aritmética do primeiro termo com o último termo.
Exemplo:
Exemplo:
Fórmula do Termo Geral
Como a razão de uma P.A. é constante, podemos calcular seu valor a partir de quaisquer termos consecutivos, ou seja:
r= a_2-a_1=a_3-a_2= a_4-a_3=⋯a_n-a_(n-1)
Sendo assim, podemos encontrar o valor do segundo termo da P.A. fazendo:
a_2-a_1=r→ a_2=a_1+r
Para encontrar o terceiro termo utilizaremos o mesmo cálculo:
a_3-a_2=r→a_3=a_2+r
Substituindo o valor de a2, que encontramos anteriormente, temos:
a_3=(a_1+r)+r
a_3=a_1+2r
Se seguirmos o mesmo raciocínio, podemos encontrar:
a_4-a_3=r→a_4=a_3+r→a_4=a_1+3r
Observando os resultados encontrados, notamos que cada termo será igual a soma do primeiro termo com a razão multiplicada pela posição anterior.
Esse cálculo é expresso através da fórmula do termo geral da P.A., que nos permite conhecer
qualquer elemento de uma progressão aritmética. Assim, temos:
a_n=a_1+(n-1) .r
Onde,
an : termo que queremos calcular
a1: primeiro termo da P.A.
n: posição do termo que queremos descobrir
r: razão
Exemplo:
Calcule o 10° termo da P.A.: (26, 31, 36, 41, ...)
Solução:
Primeiro, devemos identificar que a1 = 26, r = 31 - 26 = 5 e n = 10 (10º termo). Substituindo esses valores na fórmula do termo geral, temos:
an = a1 + (n - 1) . r
a10 = 26 + (10-1) . 5
a10 = 26 + 9 .5
a10 = 71
Portanto, o décimo termo da progressão aritmética indicada é igual a 71.
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Soma dos Termos de uma P.A.
Para encontrar a soma dos termos de uma P.A. finita, basta utilizar a fórmula:
S_n=((a_1+a_n ).n)/2
Onde
Sn: soma dos n primeiros termos da P.A.
a1: primeiro termo da P.A.
an: ocupa a enésima posição na sequência
n: posição do termo
Ex: Determine o termo geral da PA: (1, 6, 11, 16, 21, 26, … ). Calcule também a soma do sexto termo com o oitavo termo.
Para encontrar o termo geral da PA devemos utilizar a fórmula: an = a1 + (n – 1) . r
Antes de aplicar a fórmula, vamos determinar a razão desta PA. Assim, podemos encontrar a razão fazendo: r = a2 – a1 ⇒ r = 6 – 1 = 5
Agora vamos aplicar a fórmula:
an = a1 + (n – 1) . r ⇒ an = 1 + (n – 1) . 5
Dessa forma, termos que o termo geral da PA dada é: an = 1 + (n – 1) . 5
Ex: calcular a soma entre o 6º termo e o 8º termo, termos que utilizar a fórmula do termo geral acima para encontrá-los. Assim:
A6 = 1 + (6 – 1) . 5
a6 = 1 + 5 . 5
a6 = 1 + 25
a6 = 26
a8 = 1 + (8 – 1) . 5
a8 = 1 + 35
a8 = 36
Logo, a6 + a8
26 + 36 = 62
Portanto, a soma dos termos é igual a 62.
Ex: Numa cerimônia militar, os soldados de um quartel da capital capixaba foram organizados em fileiras. Na primeira fileira havia 18 soldados, na segunda 20 soldados, na terceira 22 soldados e assim sucessivamente. Sabe-se que no total havia 480 soldados nessa cerimônia. Qual o número de fileiras de soldados que foram formadas nessa cerimônia?
Resolução
Nota-se que temos uma Progressão Aritmética, onde o primeiro termo é o 18, a razão é o 2 e a soma dos termos é 480.
Pela fórmula geral temos:
a_n=a_1+(n-1).r
a_n = 18 + ( n – 1).2
a_n = 18 + 2n – 2
a_n = 16 + 2n
Vamos agora substituir na fórmula da soma dos termos de uma P.A.
Sn = (a1 + an).n/2
480 = (18 + 16 + 2n).n/2
480.2 = (34 + 2n)n
960 = 34n + 2n²
2n² + 34n – 960 = 0 (:2)
n² + 17n – 480 = 0
Temos uma equação do segundo grau.
Resolvendo pelo método de soma e produto:
Soma = -b/a = -17
Produto = c/a = -480
Os dois números cuja soma é -17 e o produto é -480 são -32 e 15.
Como o n representa a quantidade de termos, os valores negativos não servem, logo, n = 15.
Obs: Você também pode resolver por Bháskara
ATIVIDADE DE AVERIGUAÇÃO DE APRENDIZAGEM
Enviar foto das respostas no caderno (a caneta), para o Whatsapp da professora.
1)Sabendo que os números da sequência (y, 7, z, 15) estão em progressão aritmética, quanto vale a soma y + z?
a) 20
b) 14
c) 7
d) 3,5
e) 2
2)Na figura abaixo, temos uma sequência de retângulos, todos de altura a. A base do primeiro retângulo é b e dos retângulos subsequentes é o valor da base do anterior mais uma unidade de medida. Sendo assim, a base do segundo retângulo é b+1 e do terceiro b+2 e assim sucessivamente.
Considere as afirmativas abaixo.
I - A sequência das áreas dos retângulos é uma progressão aritmética de razão 1.
II - A sequência das áreas dos retângulos é uma progressão aritmética de razão a.
III - A sequência das áreas dos retângulos é uma progressão geométrica de razão a.
IV - A área do enésimo retângulo (A_n) pode ser obtida pela fórmula An = a . (b + n - 1).
Assinale a alternativa que contém a(as) afirmativa(s) correta(s).
a) I.
b) II.
c) III.
d) II e IV.
e) III e IV.
3)Em relação à progressão aritmética (10, 17, 24, …), determine:
a) o termo geral dessa PA;
b) o seu 15° termo;
c) a soma a10 + a 20.
4) Calcule a soma dos 15 primeiros termos da PA (1, 4, 7, 10, 13,16...)
5)O comandante de um destacamento militar ordenou que seus subordinados se organizassem em filas. A primeira fila era composta por 14 soldados, a segunda por 18 soldados, a terceira por 22 soldados, e assim sucessivamente. Sabe-se que o número de soldados deste destacamento é igual a 1550. Dessa forma, é correto afirmar que serão formadas:
a) 18 filas
b) 20 filas
c) 23 filas
d) 25 filas
e) 30 filas
Obs: Primeiro utilizar a fórmula geral da P.A, depois substitui na fórmula da soma dos termos de uma P.A. Vai encontrar uma equação do 2° grau completa, vai para delta e Bháskara. O resultado será o número positivo.
6)Em uma Progressão Aritmética, em que o primeiro termo é 23 e a razão é -6, a posição ocupada pelo elemento -13 é:
a) 8ª
b) 7ª
c) 6ª
d) 5ª
e) 4ª
Obs: a1 = 26
a_n = -13
r = - 6
n = ?
( Aplicação direta da fórmula do termo geral )