II AULA REMOTA DE
MATEMÁTICA (3ª Unidade)
Professora:
Evany de Carvalho 1ª
Série/Ensino Médio
Turmas: A, B C e D
Videoaula
sugerida: https://www.youtube.com/watch?v=8h7Wl5kBquk
Valor máximo ou valor
mínimo de uma função quadrática
Os pontos de
máximo e de mínimo são definidos e discutidos apenas para funções do segundo
grau, uma vez que eles podem existir em qualquer curva.
Antes, vamos
relembrar: uma função do segundo grau é aquela que pode ser escrita na forma
f(x) = ax2 + bx + c. O gráfico desse tipo de função é a parábola, que pode ter
sua concavidade voltada para baixo ou para cima. Além disso, nessa figura,
existe um ponto chamado vértice, representado pela letra V, que é pode ser o
ponto de máximo ou o ponto de mínimo da função.
Ponto de máximo
Toda função
do segundo grau com a < 0 possui ponto de máximo. Em outras palavras, o
ponto de máximo somente é possível em funções com a concavidade voltada para
baixo. Como mostra a imagem a seguir, o ponto de máximo V é o ponto mais alto
das funções do segundo grau com a < 0.
Observe que o
gráfico dessa função é crescente até chegar ao ponto de máximo, depois disso, o
gráfico torna-se decrescente. O ponto mais alto dessa função do exemplo é seu
ponto de máximo. Note também que não existe nenhum ponto com coordenada y
superior a V = (3, 6) e que o valor de x atribuído ao ponto de máximo fica no
ponto médio do segmento, cujas extremidades são as raízes da função (quando
elas forem números reais).
Além disso,
lembre-se de que o ponto de máximo sempre coincide com o vértice da função com
concavidade voltada para baixo.
Ponto de mínimo
Toda função
do segundo grau com o coeficiente a > 0 possui ponto de mínimo. Em outras
palavras, o ponto de mínimo somente é possível em funções com concavidade
voltada para cima. Observe na figura a seguir que V é o ponto mais baixo da
parábola:
O gráfico
dessa função é decrescente até chegar ao ponto de mínimo, depois disso, segue
crescente. Além disso, o ponto de mínimo V é o ponto mais baixo dessa função,
ou seja, não existe outro ponto com coordenada y inferior a – 1. Note também
que o valor de x relacionado a y no ponto mínimo também fica no ponto médio do
segmento, cujas extremidades são as raízes da função (quando elas forem números
reais).
Lembre-se
também de que o ponto de mínimo sempre coincide com o vértice da função com
concavidade voltada para cima.
Ponto de máximo ou de
mínimo na lei de formação da função
Sabendo que a
lei de formação da função do segundo grau tem a forma f(x) = ax2 + bx + c, é
possível utilizar relações entre os coeficientes a, b e c para encontrar as
coordenadas do vértice da função. As coordenadas do vértice serão justamente as
coordenadas do seu ponto de máximo ou de mínimo.
Sabendo que a
coordenada x do vértice de uma função é representada por xv, teremos:
xv = – b/2ª
Sabendo que a
coordenada y do vértice de uma função é representada por yv, teremos:
yv = – Δ/4ª
Portanto, as
coordenadas do vértice V serão: V = (xv, yv).
Se o vértice
será ponto de máximo ou de mínimo, basta analisar a concavidade da parábola:
Se a < 0,
a parábola possui ponto de máximo.
Se a > 0,
a parábola possui ponto de mínimo.
Observe que,
quando a função possui duas raízes reais, xv ficará no ponto médio do segmento,
cujas extremidades são as raízes da função. Assim, outra técnica para encontrar
xv e yv é descobrir as raízes da função, encontrar o ponto médio do segmento de
reta que as liga e aplicar esse valor na função para descobrir yv relacionado.
Exemplo:
Determine o
vértice da função f(x) = x2 + 2x – 3 e diga se ele é ponto de máximo
ou de mínimo.
1ª Solução:
Calcule as coordenadas do vértice pelas fórmulas dadas, sabendo que a = 1, b =
2 e c = – 3.
xv = – b/2ª
xv = – 2/2.1
xv = – 1
yv = – Δ/4
yv = – (22
– 4·1·[– 3])/4.1
yv = – (4 +
12)/4
yv = – 16/4
yv = – 4
Então, V = (–
1, – 4) e a função possuem ponto de mínimo, pois a = 1 > 0.
A imagem
abaixo mostra o gráfico dessa função com suas raízes e com o seu ponto de
mínimo V.
II ATIVIDADE DE
AVERIGUAÇÃO DA APRENDIZAGEM (3ª UNIDADE)
Componente
curricular: Matemática
1ª Série/Ensino médio
Professora:
Evany de Carvalho Turmas: A,B, C e D
Link de
videaula sugerida: https://www.youtube.com/watch?v=E8zzmG4Q2IU
1) Dada s função abaixo, determine se ela possue
ponto de máximo ou mínimo absoluto e as coordenadas desses pontos.
f(x) =
3x2 – 4x + 1
2) O lucro de
uma fábrica na venda de determinado produto é dado pela função L(x) = – 5x2
+ 100x – 80, onde x representa o número de produtos vendidos e L(x) é o lucro
em reais. Determine:
a) O lucro
máximo obtido pela fábrica na venda desses produtos
b) Quantos
produtos precisam ser vendidos para obtenção do lucro máximo.
3) Uma empresa produz um determinado produto
com o custo definido pela seguinte função C(x) = x² – 80x + 3000. Considerando
o custo C em reais e x a quantidade de unidades produzidas, determine a
quantidade de unidades para que o custo seja mínimo e o valor desse custo
mínimo.
4)O gerente
de um estabelecimento comercial observou que o lucro (L) de sua loja dependia
da quantidade de clientes (c) que frequentava o mesmo diariamente . Um
matemático analisando a situação estabeleceu a seguinte função:
L(c) = – c² +
60c – 500
Qual seria o
número de clientes necessário para que o gerente obtivesse o lucro máximo em
seu estabelecimento?
a) 28
b) 29
c) 30
d) 32
e) 34