III AULA REMOTA DE
MATEMÁTICA (3ª Unidade)
Professora:
Evany de Carvalho 2ª Série/Ensino Médio
Turma: C
Videoaula
sugerida: https://www.youtube.com/watch?v=bfS3ROW07xQ
Analise combinatória
A análise
combinatória é um campo de estudo da matemática associado com as regras de
contagem. No início do século XVIII, o estudo sobre jogos envolvendo dados e
cartas fez com que as teorias de contagem tivessem grande desenvolvimento.
O trabalho da
análise combinatória possibilita a realização de contagens cada vez mais
precisas. O princípio fundamental da contagem (PFC), o fatorial e os tipos de
agrupamento são exemplos de conceitos estudados na análise combinatória, que,
além de propiciar maior precisão, auxilia no desenvolvimento de outras áreas da
matemática, como a probabilidade e o binômio de Newton.
Para que
serve a análise combinatória?
A analise
combinatória está associada com o processo de contagem, ou seja, o estudo dessa
área da matemática possibilita-nos desenvolver ferramentas que nos auxiliam na
realização de contagens de maneira mais eficiente. Vamos analisar um problema
típico de contagem, veja:
Exemplo 1
Considere
três cidades A, B e C interligadas pelas rodovias R1, R2, R3, R4 e R5.
Determine de quantas maneiras podemos ir da cidade A para cidade C passando
pela cidade B.
Para que
serve a análise combinatória?
Observe que
precisamos sair da cidade A e ir para cidade B, e somente depois podemos seguir
viagem para cidade C, assim vamos analisar todas as possibilidades de
realizarmos o evento seguindo as rodovias.
1ª maneira:
R1 → R3
2ª maneira:
R1 → R4
3ª maneira:
R1 → R5
4ª maneira:
R2 → R3
5ª maneira:
R2 → R4
6ª maneira:
R2 → R5
Portanto,
temos seis maneiras diferentes de ir da cidade A para cidade C passando pela
cidade B. No entanto, observe que o problema proposto é relativamente simples e
que a análise realizada foi pouco trabalhosa. Assim, a partir de agora, vamos
estudar ferramentas mais sofisticadas que possibilitam resolver problemas com
bem menos trabalho.
Princípio fundamental da contagem
(PFC)
Considere um
evento E que possa ser realizado em n etapas independentes e consecutivas.
Agora, considere que o número de possibilidades de realizar-se a primeira etapa
seja igual a P1, imagine também que o número de possibilidades de realizar-se a
segunda etapa seja de P2, e assim sucessivamente, até que cheguemos à última
etapa, que possui Pn possibilidades de ser realizada.
O princípio
fundamental da contagem (PFC) afirma que o total de possibilidades de
realizar-se o evento E é dado por:
P1 ·P2 · … ·
Pn
Dessa forma,
o total é dado pelo produto das possibilidades de cada uma das etapas que
constituem o evento E. Observe que, para determinar-se o total de
possibilidades de realização do evento E, é necessário conhecer-se o total de
possibilidades de cada uma das etapas.
Exemplo 2
Vamos refazer
o exemplo 1 utilizando-nos do princípio fundamental da contagem.
Considere a
imagem do exemplo 1.
Para que
serve a análise combinatória?
Observe que o
evento pode ser realizado em duas etapas, a primeira consiste em ir da cidade A
para cidade B, e a segunda, em ir da cidade B para cidade C. Para realizarmos a
primeira etapa, temos duas possibilidades (estradas R1 e R2), e, para
realizarmos a segunda etapa, temos três possibilidades (R3, R4 e R5).
1ª etapa →
duas possibilidades
2ª etapa →
três possibilidades
Pelo
princípio fundamental da contagem, devemos multiplicar o total de
possibilidades de cada etapa.
2 · 3 = 6
Portanto, para ir da cidade A para cidade C
passando pela cidade B, temos o total de seis possibilidades.
Portanto,
para ir da cidade A para cidade C passando pela cidade B, temos o total de seis
possibilidades.
Exemplo 3
De quantas
maneiras podem ser distribuídas as três medalhas olímpicas numa prova de
mountain bike com cinco competidores?
Organizar a
distribuição das medalhas é um evento que pode ser realizado em três etapas. A
primeira etapa consiste em analisar-se o total de possibilidades de quem ficará
com a medalha de ouro, ou seja, cinco possibilidades.
A segunda
etapa consiste em analisar-se as possibilidades de quem ficará com a medalha de
prata, ou seja, quatro, uma vez que o primeiro colocado não entra nessa
escolha. A terceira etapa consiste em analisar-se o total de possibilidades de
quem ficará com a medalha de bronze, ou seja, três, uma vez que os dois
primeiros já foram escolhidos.
1ª etapa →
cinco possibilidades
2ª etapa →
quatro possibilidades
3ª etapa →
três possibilidades
Então, pelo
princípio fundamental da contagem, temos:
5 · 4 · 3
60
possibilidades
III ATIVIDADE DE AVERIGUAÇÃO DA
APRENDIZAGEM ( 3ª UNIDADE)
Componente
curricular: Matemática 2ª Série/Ensino médio
Professora:
Evany de Carvalho Turma: C
Vídeoaula
sugerida: https://www.youtube.com/watch?v=iRH79p17jMk
1)Quantas
senhas com 4 algarismos diferentes podemos escrever com os algarismos 1, 2, 3,
4, 5, 6, 7, 8,e 9?
a) 1 498
senhas
b) 2 378
senhas
c) 3 024
senhas
d) 4 256
senhas
2) De quantas maneiras diferentes, uma
pessoa pode se vestir tendo 6 camisas e 4 calças?
a) 10
maneiras
b) 24
maneiras
c) 32
maneiras
d) 40
maneiras
3)O diretor
de uma escola convidou os 280 alunos de terceiro ano a participarem de uma
brincadeira. Suponha que existem 5 objetos e 6 personagens numa casa de 9
cômodos; um dos personagens esconde um dos objetos em um dos cômodos da casa. O
objetivo da brincadeira é adivinhar qual objeto foi escondido por qual
personagem e em qual cômodo da casa o objeto foi escondido.
Todos os
alunos decidiram participar. A cada vez um aluno é sorteado e dá a sua
resposta. As respostas devem ser sempre distintas das anteriores, e um mesmo
aluno não pode ser sorteado mais de uma vez. Se a resposta do aluno estiver
correta, ele é declarado vencedor e a brincadeira é encerrada.
O diretor
sabe que algum aluno acertará a resposta porque há
a) 10 alunos
a mais do que possíveis respostas distintas.
b) 20 alunos
a mais do que possíveis respostas distintas.
c) 119 alunos
a mais do que possíveis respostas distintas.
d) 260 alunos
a mais do que possíveis respostas distintas.
e) 270 alunos
a mais do que possíveis respostas distintas.
4)Um clube
resolve fazer uma Semana de Cinema. Para isso, os organizadores escolhem sete
filmes, que serão exibidos um por dia. Mas, ao elaborar a programação, eles
decidem que três desses filmes, que são de ficção científica, devem ser
exibidos em dias consecutivos. Nesse caso, o número de maneiras diferentes de
fazer a programação dessa semana é:
a) 144
b) 575
c) 720
d) 1040