III AULA REMOTA DE
MATEMÁTICA (3ª Unidade)
Professora:
Evany de Carvalho 3ª Série/Ensino Médio
Turma: A
Videoaula
sugerida: https://www.youtube.com/watch?v=RlmxpDPv9CA
Função ou distribuição
de probabilidade
Por Que
Começar com Probabilidade?
A
probabilidade está em todo lugar!
Probabilidade
é a ciência da incerteza. Portanto, sempre que houver alguma dúvida sobre um
evento, os conceitos de probabilidade são envolvidos para estimar a
probabilidade de um evento. Se queremos prever um resultado de uma variável que
pode assumir um dos muitos valores disponíveis, precisamos envolver a
matemática da probabilidade.
Portanto,
podemos usar a teoria da probabilidade em diversas situações, seja em nossas
vidas pessoais ou profissionais. A incerteza sempre estará lá, mas ela pode ser
medida, pode ser gerenciada..
Será que
realmente vai fazer sol amanhã? O preço das ações permanecerá o mesmo até
amanhã? Quão certos estamos? Qual a probabilidade de recebermos uma ligação
dentro de uma hora?
Por se tratar
de um assunto extremamente importante, decidi iniciar a série de artigos com o
assunto probabilidade. O meu objetivo é explicar os conceitos complexos de uma
maneira simplificada. Posteriormente, também explicarei o assunto Estatística.
Isso deve formar uma base para ajudar quem está começando em Ciência de Dados.
Conceitos Fundamentais
Vamos definir
alguns conceitos fundamentais da Probabilidade:
O Que é
Espaço de Probabilidade?
O Que é Uma
Variável Aleatória?
As Regras de
Probabilidade
O Que é
Expectativa?
O Que São
Variância e Covariância?
O Que São
Distribuições de Probabilidade?
1- O Que é Espaço de Probabilidade?
O conceito de
espaço de probabilidade forma a base da teoria das probabilidades, portanto é
importante entendê-lo. Um espaço de probabilidade é usado para modelar
experimentos. Existem três componentes em um espaço de probabilidade: espaço de
amostra, eventos e medidas de probabilidade.
1.1. Espaço de Amostra
É um conjunto
de todos os resultados possíveis. Um conjunto na matemática é uma coleção única
de elementos. Por exemplo, o espaço de amostra ao jogar um dado é: S = {1, 2,
3, 4, 5 e 6}, pois o dado com 6 faces oferece 6 resultados possíveis sempre que
o dado é jogado.
O espaço de
amostra de um movimento do preço das ações pode ser S = {Aumenta, Igual,
Diminui}. Como Aumenta é um elemento de S, podemos escrever como Aumenta ∈ S.
Agora, a
chave a lembrar é que o espaço de amostra pode ser um conjunto infinito. Por
exemplo, a população de um país está mudando constantemente e é um número
aleatório com um número infinito de possibilidades. Desde que você começou a
ler este artigo a população do Brasil, por exemplo, já aumentou em algumas
unidades.
1.2. Eventos
Em teoria das
probabilidades, um evento é um conjunto de resultados (um subconjunto do espaço
amostral) ao qual é associado um valor de probabilidade. Habitualmente, quando
o espaço amostral é finito, qualquer subconjunto seu é um evento (i.e., todos
os elementos do conjunto de partes do espaço amostral são definidos como
eventos). Porém, esta abordagem não é a mais feliz quando se dá o caso em que o
espaço amostral é infinito, particularmente quando o resultado é um número
real. Assim, ao definir-se um espaço de probabilidade, é possível e muitas
vezes necessário excluir certos subconjuntos do espaço amostral da associação a
eventos.
Um baralho de
52 cartas tem um espaço amostral de 52 elementos, um associado a cada uma das
52 cartas. Um evento, todavia, é qualquer subconjunto do espaço amostral,
incluindo qualquer singular elemento (um evento elementar, do qual há 52,
representando as 52 possíveis cartas), o conjunto vazio (definido como tendo
probabilidade 0) e o conjunto inteiro de 52 cartas, o espaço amostral inteiro
(com probabilidade 1). Outros eventos são subconjuntos próprios do espaço
amostral que contêm múltiplos elementos. Por exemplo, os potenciais eventos
incluem:
“O 5 de
Copas” (1 elemento),
“Um Rei” (4
elementos),
“Uma carta de
Espadas” (13 elementos),
“Uma carta”
(52 elementos).
Como todos os
eventos são conjuntos, são escritos habitualmente entre chaves (ex: {1, 2, 3}).
1.3. Medidas de Probabilidade
Cada evento
tem uma probabilidade atribuída a ele. A probabilidade pode ser qualquer valor
de 0 a 1. A chave a ser observada é que é um número não negativo que não pode
ser maior que 1. O valor de 1 implica que o evento é garantido, enquanto o
valor de 0 significa que o evento nunca ocorrerá.
Como exemplo,
jogar um dado justo e imparcial pode resultar em um dos 6 resultados possíveis
e, portanto, cada resultado tem uma probabilidade de 1/6. Portanto, a
probabilidade de obter 4 é P (4) = 1/6
Quanto maior
a probabilidade de ocorrência de um evento, maior a medida de probabilidade.
A soma da
probabilidade de todo o espaço amostral é 1. A probabilidade de um conjunto
vazio é 0. Isso significa que nenhum resultado pode ocorrer.
Agora, um
conceito importante é que a medida de probabilidade também é aditiva. Isso
implica que, se quisermos calcular a probabilidade de um evento complicado,
podemos adicionar as probabilidades de eventos simples que compõem o evento
complicado.
Por exemplo,
a probabilidade de um dado mostrar 1 ou 4 é 2/6 (1/6 para obter 1 mais 1/6 de
obter 4).
2. O Que é Uma Variável Aleatória?
Geralmente
encontramos os termos “mensuráveis” ou “observáveis” ao ler documentos
financeiros. O termo observável representa uma variável aleatória em um
experimento que pode ser medido.
Uma variável
aleatória em si é uma função. Ele mapeia um espaço de estado para um conjunto
de números; portanto, uma variável aleatória é um resultado de natureza
aleatória. Cada resultado tem uma probabilidade associada a ele.
Para
ilustrar, considere que o PIB de um país é uma variável aleatória. Pode ser
considerado como uma função de muitas variáveis e constantes. Cada evento tem
uma medida de probabilidade associada a ele.
O mundo está
cheio de variáveis aleatórias. Por exemplo, dias da semana, as taxas de juros,
as taxas de câmbio, o preço do ouro, etc. são todas variáveis aleatórias. Uma
variável aleatória pode ser discreta ou contínua.
2.1 Variável Aleatória Discreta
Uma variável
aleatória discreta é aquela que possui um conjunto finito de resultados
possíveis. Esses resultados também podem ser contados infinitamente, mas a
chave a ser observada é que a soma do conjunto finito de resultados deve ser 1.
Por exemplo,
jogar dados, jogar uma moeda, dias da semana, cores em uma caixa de lápis
específica, gênero, meses, dias do mês etc. são exemplos de uma variável
aleatória discreta.
2.2 Variável Aleatória Contínua
Uma variável
aleatória que não é discreta é uma variável aleatória contínua. Tem um conjunto
infinito de resultados possíveis que não podem ser contados.
Por exemplo,
as taxas de juros, as taxas de câmbio, o preço do ouro, a precipitação em
milímetros etc. são exemplos de uma variável aleatória contínua.
Vou manter os
artigos não muito longos e por isso continuaremos na Parte 2.
III ATIVIDADE DE
AVERIGUAÇÃO DA APRENDIZAGEM (3ª UNIDADE)
Componente
curricular: Matemática
3ª Série/Ensino médio
Professora:
Evany de Carvalho Turma: A
Videaula sugerida: https://www.youtube.com/watch?v=hlKUo3zcfYY
1) Pedro
pergunta a Paulo se ele pode trocar uma nota de R$ 100,00 por duas notas de R$
50,00. Paulo responde que tem exatamente R$ 200,00 na carteira em notas de R$
50,00, R$ 20,00 e R$ 10,00, mas não sabe quantas notas tem de cada valor. Sabe
apenas que tem pelo menos uma de cada valor. Considere que todas as
distribuições possíveis de notas de R$50,00, R$20,00 e R$10,00 que podem
ocorrer na carteira de Paulo sejam igualmente prováveis. A probabilidade de que
Paulo possa fazer a troca pedida por Pedro é de:
a) 2/13
b) 4/13
c) 5/13
d) 6/13
e) 7/13
2)Uma moeda
não tendenciosa é lançada até que sejam obtidos dois resultados consecutivos
iguais. Qual a probabilidade de a moeda ser lançada exatamente três vezes?
(A) 1/8
(B) 1/4
(C) 1/3
(D) 1/2
(E) 3/4
3)Para disputar
a final de um torneio internacional de natação, classificaram-se 8 atletas: 3
norte-americanos, 1 australiano, 1 japonês, 1 francês e 2 brasileiros.
Considerando que todos os atletas classificados são ótimos e têm iguais
condições de receber uma medalha (de ouro, prata ou bronze), a probabilidade de
que pelo menos um brasileiro esteja entre os três primeiros colocados é igual
a:
(A) 5/14
(B) 3/7.
(C) 4/7.
(D) 9/14.
(E) 5/7
4)Considere o
seguinte jogo de apostas:
Numa cartela
com 60 números disponíveis, um apostador escolhe de 6 a 10 números. Dentre os
números disponíveis, serão sorteados apenas 6.
O apostador
será premiado caso os 6 números sorteados estejam entre os números escolhidos
por ele numa mesma cartela.
O quadro
apresenta o preço de cada cartela, de acordo com a quantidade de números
escolhidos.
Cinco
apostadores, cada um com R$ 500,00 para apostar, fizeram as seguintes opções:
Arthur: 250
cartelas com 6 números escolhidos
Bruno: 41
cartelas com 7 números escolhidos e 4 cartelas com 6 números escolhidos
Caio: 12
cartelas com 8 números escolhidos e 10 cartelas com 6 números escolhidos
Douglas: 4
cartelas com 9 números escolhidos
Eduardo: 2
cartelas com 10 números escolhidos
Os dois
apostadores com maiores probabilidades de serem premiados são:
a) Caio e
Eduardo
b) Arthur e
Eduardo
c) Bruno e
Caio
d) Arthur e
Bruno
e) Douglas e
Eduardo
Dica: Usar nessa questão a fórmula de combinação
simples para verificar a probabilidade de ganho de cada apostador.
Cn,p =
n!/p!.(n – p)!