Colégio Estadual “Fausto
Cardoso”
Disciplina: Matemática 3ª unidade
Profª Elen Carla
3 º anos B, C e D
Aula 4 – 07/01/2021
Vídeo para reforçar a aprendizagem
Números
complexos
O conjunto dos números
complexos,C, é o conjunto dos pares ordenados (x, y) de números reais,
para os quais estão definidas, de forma específica, algumas operações.
Usualmente, representa-se por z o número complexo (x, y) .
Dado um número complexo z= (x,
y), dizemos que:
·
x: parte real de z. Indicamos por Re(z) = x.
·
y: parte imaginária de z. Indicamos por Im (z) = y.
Unidade
imaginária
O número (0, 1) é chamado de unidade
imaginária e é representado por i.
( 0, 1) = i
Pela definição de números complexos, tem-se:
I2 = - 1 => 
Adição de dois números complexos
Para realizarmos a adição de
dois números complexos z1 e z2,
faremos a soma da parte real de z1 e z2 e
a soma da parte imaginária, respectivamente.
Seja:
z1 = a + bi
z2 = c + di
z1 + z2 = (a + c) + (b + d)iExemplo 1
Realização da soma de z1 e z2.
z1 = 2 + 3i
z2 = 1 + 2i
z1 + z2 = (2 + 1) + (3 + 2)i
z1 + z2 = 3 + 5i
Subtração
de dois números complexos
Antes de
falarmos sobre subtração,
precisamos definir o que é o inverso
de um número complexo, ou seja, z = a + bi. O inverso de z,
representado por –z, é o número complexo –z = –a – bi.
Para
realizarmos a subtração entre z1 e –z2, assim como
na adição, faremos a subtração
entre as partes reais e entre as partes imaginárias separadamente,
porém é necessário compreender-se que –z2 é o inverso de um
número complexo, o que torna necessário a realização do jogo de sinal.
·
Exemplo 1
Realização
da subtração de z1 e z2.
z1 = 2 + 3i
z2 = 1
+ 2i
z1 – z2 = (2 – 1)
+ (3 – 2)i
z1 – z2 = 1 + 1i = 1+ i
Potências da unidade imaginária
Antes de
falarmos em multiplicação, precisamos entender a potência da unidade
imaginária. Na busca por um método para calcular-se potências de in, é
necessário perceber que essas potências comportam-se de forma cíclica. Para
isso, vamos calcular algumas potências de i.
Acontece que as próximas
potências nada mais são que a sua repetição, note que:
i 4 = i 2 · i 2 =
(–1) (–1) = 1
i 5 = i 2 · i 3 =
(–1) (–i)
= i
Ao
continuarmos a calcular as potências, as respostas sempre serão elementos do
conjunto {1,i,–1,–i},
então, para encontrarmos uma potência da unidade i n,
faremos a divisão de n (o expoente) por 4, e o resto dessa divisão (r = { 0, 1, 2, 3})
será o novo expoente de i.
·
Exemplo 1
Cálculo
de i25
Ao fazermos a divisão de 25 por
4, o quociente será 6 e o resto será igual a 1. Então temos que:
i 25 = i1 = i
·
Exemplo 2
Cálculo
de i 403
Ao dividirmos 403 por 4, o quociente
será 100, pois 100 · 4 = 400, e o resto será 3, então temos que:
i 403 = i 3 = –i
Multiplicação de números complexos
Para realizarmos a multiplicação de dois números complexos, vamos
aplicar a propriedade distributiva. Seja:
z1 = a + bi
z2 = c +di, então o produto:
z1 · z2 = (a + bi) (c + di),
aplicando a propriedade distributiva,
z1 · z2 = ac + adi + cbi +
bdi 2, mas, como vimos, i ² = -1
z1 · z2 = ac + adi + cbi – bd
z1 · z2 = (ac – bd) + (ad +
cb)i
Utilizando-nos dessa fórmula, é possível encontrarmos o produto de
quaisquer dois números complexos, mas, de modo geral, ela não precisa ser
decorada, já que, para o cálculo em questão, basta aplicarmos a propriedade
distributiva.
Exemplo
Cálculo do produto de (2+3i) (1 – 4i):
(2+3i) (1 – 4i) = 2 – 8i +
3i – 12i ², lembrando que i² =
-1:
(2 + 3i) (1 – 4i) = 2 – 8i +
3i + 12
(2 + 3i) (1 – 4i) = (2 + 12) + (– 8
+ 3)i
(2+3i) (1 – 4i) = 14 – 5i
Atividade Forms
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