Uma progressão geométrica (PG) é uma sequência numérica onde cada termo é igual ao produto de seu antecessor com uma constante, chamada razão da PG. Em outras palavras, a diferença entre dois termos quaisquer e consecutivos de uma PG é uma constante.
Exemplo de progressão geométrica:
(1, 3, 9, 27, 81, …)
Cada termo dessa PG, exceto o primeiro, é resultado de um produto de seu antecessor por 3, pois 3 = 3·1, 9 = 3·3 . 3 .9 = 27 e assim por diante.
A razão de uma PG é representada pela letra “q”. E seus elementos são representados por uma letra minúscula seguida de um número que indica a posição do número. Por exemplo, na PG acima, o termo a1 é o primeiro termo e é igual a 1. O termo a4 é o quarto termo e é igual a 27. Dessa forma, é costume indicar o enésimo termo de uma PG por an.
Fazendo uso da definição de PG, podemos escrever o enésimo termo como um produto de seu antecessor an – 1 pela razão. Assim, a definição das progressões geométricas também pode ser dada da seguinte maneira:
Termo geral da PG
O termo geral de uma PG é uma expressão que pode ser usada para encontrar um termo qualquer de uma progressão geométrica. Esse termo também é expresso por an e a expressão/fórmula utilizada para determiná-lo é:
Onde:
n é o índice do termo que queremos determinar, ou seja, está ligado à posição desse termo na PG;
a1 é o primeiro termo da progressão geométrica e
q é sua razão.
Por exemplo, para determinar o décimo termo da PG (1, 2, 4, 8, 16, …), podemos fazer:
An = a1·qn - 1
A10 = 1·210 - 1
Pois a1 = 1, q = 2 e n = 10. Prosseguindo nos cálculos:
A10 = 1·29
A10 = 29
A10 = 512
Exemplos:
1) Determine o 5º (quinto) termo de uma PG onde o primeiro termo é 3 e a razão é 7.
Aplicando a fórmula, temos:
Portanto, o quinto termo da PG é igual a 7203.
Obs: lembrando, que quando se tem uma expressão numérica ou uma equação onde aparece potência, primeiro resolve a potência para depois resolver as outras operações.
Videoaula sobre potência ( opcional )
https://www.youtube.com/watch?v=46_wtEK-SCg~
2) Determine o primeiro termo de uma PG decrescente onde a9 = 12 e a6 = 96.
Precisamos encontrar a razão desta PG para resolver a questão. Então, se considerarmos o 9º termo como o último termo da PG e o 6º como o primeiro, temos:
Agora que temos a razão podemos calcular o primeiro termo da PG. Assim:
Portanto, o primeiro termo da PG é 3072.
Exercício
1)A sequência seguinte é uma progressão geométrica, observe: (2, 6, 18, 54...). Determine o 8º termo dessa progressão.
2)Várias tábuas iguais estão em uma madeireira. Elas deverão ser empilhadas respeitando a seguinte ordem: uma tábua na primeira vez e, em cada uma das vezes seguintes, tantas quantas já estejam na pilha. Por exemplo:
Determine a quantidade de tábuas empilhadas na 12ª pilha.
3)Determine o décimo termo de uma progressão geométrica cujo primeiro termo é 2 e a razão é 3.
a) 10
b) 29
c) 30
d) 39366
e) 130000
4)O oitavo termo de uma PG é 256 e o quarto termo dessa mesma PG é 16. Calcule seu primeiro termo.
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
Obs: Podemos considerar uma PG cujo primeiro termo é 16 e o quarto termo é 256. Isso porque do quarto até o oitavo existem quatro termos. Usando a fórmula do termo geral, fica fácil encontrar a razão dessa PG:
Obs: Depois que encontrar a razão vai procurar o primeiro termo. Para encontrar o primeiro termo, basta usar a mesma fórmula, considerando que a PG possui o oitavo termo igual a 256 e q ?
5)Considerando a PA de razão 2 e primeiro termo igual a 2, e a PG que possui mesma razão e mesmo primeiro termo, qual a diferença entre o décimo termo da PG e o décimo termo da PA?
a) 20
b) 1028
c) 1208
d) 1228
e) 1004
6) O segundo termo de uma P. G. crescente tal que a1 = 8 e a3 = 18 é igual a:
a) 10
b) 11
c) 12
d) 14
e) 15