O uso da matemática financeira faz parte da vida humana desde que o homem percebeu a existência da relação entre o dinheiro e o tempo. Nos juros simples, nós vimos que temos um valor sempre constante em cima do capital inicial a cada determinado intervalo de tempo.
Os juros compostos diferem dos juros simples, pois são calculados sobre o montante obtido no período anterior. Somente no primeiro período é que os juros são calculados sobre o capital inicial, ou seja, os juros compostos são um regime de juros sobre juros. Assim, o crescimento é muito mais rápido do que no regime de juros simples.
Como funciona o regime de juros sobre juros?No regime de juros compostos, como ditos acima, calculamos juros em cima de juros. Ou seja: a cada intervalo de tempo, são calculados novos juros, que são somados ao capital inicial e, em cima desse novo valor, calculamos novamente novos juros. Por exemplo:
Ex: Um capital de R$ 5000,00, aplicado a uma taxa de juros compostos de 10% a.m (ao mês) por um período de três meses renderá quanto de juros?
Assim como nos juros simples, após o primeiro mês, temos que os juros serão de:
10% de 5.000 = 500. Assim, teríamos um montante de M = 5.000 + 500 = 5.500
Porém, nos juros simples, essa taxa de juros continuaria sendo 500independente da quantidade de meses. Já nos juros compostos, após o segundo mês, é calculado juros em cima do valor anterior.
10% de 5.500 = 550. Assim, teríamos um montante de M = 5.500 + 550 = 6.050
Seguindo a mesma lógica, no terceiro mês, teríamos:
10% de 6.050 = 605. Assim, o montante seria M = 6.050+ 605 = 6.655
Lembrando que: M = C + J
Portanto, como tínhamos um capital de 5.000 e terminamos com um montante de 6.655, vimos que o rendimento foi de 1.655reais.
Como calcular os juros compostos?
Saber manipular a fórmula é fundamental para o estudo dos juros compostos. Como há quatro variáveis (montante, capital, taxa de juros e tempo), os problemas que envolvem esse tema podem dar o valor de três delas e sempre pedir o cálculo da quarta variável, podendo ser qualquer uma delas. Por isso o domínio de equações é fundamental para a resolução de problemas que envolvem juros compostos.
Vale ressaltar que, para calcularem-se os juros, é necessário conhecer o capital e o montante, pois os juros são dados pela diferença dos dois, ou seja:
J = M – CFórmula de juros compostos
Assim como nos juros simples, nos juros compostos também temos uma fórmula para calcularmos a taxa de um regime. Para isso, usamos a fórmula:
M = C . (1 + i)t
Em que M é o montante, C é o capital inicial aplicado, i é a taxa de juros e t é o tempo.
Resolvamos o mesmo exemplo acima, porém usando a fórmula:
M = 5.000.( 1 + 10/100)3
M = 5.000.( 1,1)³
M = 5.000 . 1,331
M = 6.655
Como havíamos aplicado 5.000, então, essa aplicação rendeu 1.655 reais de juros.Juros compostos e função exponencialA principal característica de uma função exponencial é o aparecimento da variável no expoente. Nos juros compostos, a variável é o tempo, pois o valor dos juros gerados pela aplicação depende do tempo em que ela é aplicada.
Assim, podemos dizer que os juros compostos caracterizam um crescimento exponencial na variável “t”, que é o tempo.
Juros compostos e progressão geométrica
Uma progressão geométrica, ou P.G., poderia ser definida como uma sequência de números reais obtida ao multiplicar o número anterior por uma quantidade fixa q, que vamos chamar de razão.
Deve-se ressaltar que esta regra não vale apenas para o primeiro número da sucessão.
Podemos analisar os juros compostos como uma progressão geométrica.
Observe novamente:
M = C . (1 + i)t
Perceba que a cada mês passado, o capital é multiplicado por uma razão de (1 + i), assim caracterizando a PG.Perceba que o termo geral de uma PG é exatamente a fórmula de juros compostos escrita com outras letras, olhando para outras grandezas, mas, matematicamente, é a mesma coisa:An = A1 .qn-1 Exemplos:
1. Numa aplicação financeira, chama-se MONTANTE a soma da quantia aplicada com os juros acumulados até aquela data. Suponha uma aplicação de R$ 50.000,00 a juros compostos, à taxa de 3% ao mês.
Nesse caso, os montantes, em reais, no início de cada período de um mês, formam uma progressão geométrica em que o primeiro termo é 50000 e a razão é 1,03.Os juros acumulados ao completar 10 meses de aplicação são:(Dado: 1,0310 = 1,3439)
a) R$ 10 300,00
b) R$ 15 000,00
c) R$ 17 195,00
d) R$ 21 847,00
e) R$ 134 390,00
Resolução 1:M = C.(1+i)n
M = 50000.(1+0,03)10
M = 50000.1,3439
M = 67195,00
J = M – C = 67195 – 50000 = R$ 17.195,00
2. Qual o montante produzido por um capital de R$ 7.000,00 aplicados a uma taxa de juros mensais de 1,5% durante um ano?
a) R$ R$ 8.369,33
b) R$ 15.300,00
c) R$ 9.845,45
d) R$ 21 847,00
C: R$ 7.000,00
Resolução 2:
i: 1,5% ao mês = 1,5/100 = 0,015
t: 1 ano = 12 meses
M = C * (1 + i)t
M = 7000 * (1 + 0,015)12
M = 7000 * (1,015)12
M = 7000 * 1,195618
M = 8369,33
O montante será de R$ 8.369,33.
3)Um capital de R$ 10.000,00 foi aplicado em uma poupança sob taxa de juros compostos de 5% ao mês durante 1,5 ano. Determine o valor do montante dessa aplicação.
(Dado: log1,052,466190 = 18)Resolução
Com base no enunciado, podemos retirar as seguintes informações:
C = R$ 10.000,00
i = 5% a.m
t = 1,5 ano → 18 meses
Veja que a taxa e o tempo estão em unidades de medida diferentes. Antes de substituir na fórmula, devemos transformar uma das unidades de medida. Em geral, transformar a unidade de medida de tempo é uma tarefa mais fácil.
1,5 ano → (1 + 0,5) ano
Em um ano, temos 12 meses, logo, em meio ano (0,5), vamos ter 6 meses, assim:
1,5 ano → (1 + 0,5) ano
1,5 ano → 12 + 6 meses
1,5 ano → 18 meses
Outra observação: a taxa deve ser sempre escrita em sua forma decimal ou fracionária.
Feitas as mudanças, vamos substituir na fórmula.
M = C · (1 + i)t
M = 10.000 · (1 + 0,05)18
M = 10.000 · (1,05)18
M = 10.000 ·2,406619
M = 24.066,19 reais
Observe que, para calcular a potência (1,05)18, necessitamos do logaritmo fornecido no enunciado do exercício.
Veja que resolvendo o logaritmo a seguir, temos que:
log1,052,406619 = 18
(1,05)18 = 2,406619
Para entender melhor as operações com logaritmos, leia nosso texto específico: logaritmos.
ATIVIDADE DE AVERIGUAÇÃO DE APRENDIZAGEM
Copiar perguntas e responder a caneta no caderno (com os cálculos) e enviar foto da atividade para o Whatsapp do professor.
1)Um capital de R$1400 foi aplicado a juros compostos em um fundo de investimento que rende 7% a.a. Qual será o juros acumulado após 24 meses?
2)Um jovem investidor precisa escolher qual investimento lhe trará maior retorno financeiro em uma aplicação de R$ 500,00. Para isso, pesquisa o rendimento e o imposto a ser pago em dois investimentos: poupança e CDB (certificado de depósito bancário). As informações obtidas estão resumidas no quadro:
Para o jovem investidor, ao final de um mês, a aplicação mais vantajosa é
a) a poupança, pois totalizará um montante de R$ 502,80.
b) a poupança, pois totalizará um montante de R$ 500,56.
c) o CDB, pois totalizará um montante de R$ 504,38.
d) o CDB, pois totalizará um montante de R$ 504,21.
e) o CDB, pois totalizará um montante de R$ 500,87.
3)Um capital foi investido em uma caderneta de poupança sob uma taxa de juros compostos de 0,6% ao mês durante um ano. Ao retirar o dinheiro, percebeu-se que o montante da aplicação foi de R$ 150.000,00. Determine o capital aplicado.
(Dados: Utilize log1,0061,074424 = 12)
4) Considere que uma viatura policial adquirida por R$ 80.000,00 se desvalorize à taxa composta de 5% ao ano. Nesse caso, considerando-se 0,6 como valor aproximado para 0,9510, é correto afirmar que, 10 anos após a compra, a viatura valerá menos de R$ 45.000,00.
Quando falamos que se desvaloriza 5% ao ano, estamos dizendo que a cada ano ela vale 95% do ano anterior. Veja:
Após 1 ano: 80000.0,95
Após 2 anos: 80000.0,95²
Certo ou errado?
5)João tomou um empréstimo de R$ 900,00 a juros compostos de 10% ao mês. Dois meses depois, João pagou R$ 600,00 e, um mês após esse pagamento, liquidou o empréstimo. O valor desse último pagamento foi, em reais, aproximadamente,
(A) 240,00
(B) 330,00
(C) 429,00
(D) 489,00
(E) 538,00
6)Qual deve ser o capital inicial que um cidadão deve aplicar em um fundo de renda fixa, que utiliza o sistema de juros compostos e que rende 20% ao ano, de modo que ele tenha R$ 1.440,00 ao final de dois anos?
