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Progressão Aritmética e Progressão Geométrica
Progressão aritmética é uma sequência de números reais cuja diferença entre um termo e seu antecedente, a partir do segundo, é uma constante.
Propriedades:
Progressão geométrica
Progressão geométrica é uma sequência de números reais não nulos cujo quociente entre um termo e seu antecedente, a partir do segundo, é uma constante.
Propriedades:
Exercícios Resolvidos
1)Uma progressão aritmética e uma progressão geométrica têm, ambas, o primeiro termo igual a 4, sendo que os seus terceiros termos são estritamente positivos e coincidem. Sabe-se ainda que o segundo termo da progressão aritmética excede o segundo termo da progressão geométrica em 2. Então, o terceiro termo das progressões é:
a) 10
b) 12
c) 14
d) 16
e) 18
Solução:
Sejam (a1, a2, a3, …) a PA de razão r e (g1, g2, g3, …) a PG de razão q. Temos como condições iniciais:
(1) a1 = g1 = 4
(2) a3 > 0, g3 > 0 e a3 = g3
(3) a2 = g2 + 2
Reescrevendo (2) e (3) utilizando as fórmulas gerais dos termos de uma PA e de uma PG e (1) obtemos o seguinte sistema de equações:
(4) a3 = a1 + 2r e g3 = g1.q2 => 4 + 2r = 4q2
(5) a2 = a1 + r e g2 = g1.q => 4 + r = 4q + 2
Expressando, a partir da equação (5), o valor de r em função de q e substituindo r em (4) vem:
(5) => r = 4q + 2 – 4 => r = 4q – 2
(4) => 4 + 2(4q – 2) = 4q2 => 4 + 8q – 4 = 4q2 => 4q2 – 8q = 0
=> q(4q – 8) = 0 => q = 0 ou 4q – 8 = 0 => q = 2
Como g3 > 0, q não pode ser zero e então q = 2. Para obter r basta substituir q na equação (5):
r = 4q – 2 => r = 8 – 2 = 6
Para concluir calculamos a3 e g3:
a3 = a1 + 2r => a3 = 4 + 12 = 16
g3 = g1.q2 => g3 = 4.4 = 16
2)Em uma Progressão Aritmética, em que o primeiro termo é 23 e a razão é -6, a posição ocupada pelo elemento -13 é:
a) 8a
b) 7a
c) 6a
d) 5a
e) 4ª
Informações do problema:
a1=23 r=−6 an=−13n=?
Substituindo na fórmula do termo geral:
an = a1 +(n−1)r
−13 = 23 + (n−1)⋅(−6)
−13 – 23 = −6n + 6
−36 – 6 = −6n
− 42 = −6n
Vamos multiplicar os dois lados por (-1)
6n = 42
N = 42/6
n =7
Resposta certa letra “B”
ATIVIDADE DE AVERIGUAÇÃO DE APRENDIZAGEM
1) Um estacionamento cobra R$ 6,00 pela primeira hora. A partir da segunda hora, os preços caem em progressão aritmética. O valor da segunda hora é R$ 4,00 e o da sétima é R$ 0,50. Quanto gastará o proprietário de um automóvel estacionado 5 horas nesse local?
Dica: O primeiro valor será fixo e irá somar no final.
Então teremos: a2 = 4 a7 = 0,5 n = 4 r = ? a5 = ?
Aplica a fórmula geral da P.A e encontra o r. Depois aplica essa mesma fórmula para encontrar a5. Em seguida aplica a fórmula da soma dos termos da P.A para encontrar o valor dos quatro primeiros horários e por último é só somar com o valor do primeiro horário.
A) R$ 17,80
B) R$ 20,00
C) R$ 18,00
D) R$ 18,70
2) Um doente toma duas pílulas de certo remédio no primeiro dia, quatro no segundo dia, seis no terceiro dia e assim sucessivamente até terminar o conteúdo do vidro. Em quantos dias terá tomado todo o conteúdo, que é de 72 pílulas?
Dica: Temos a1, a2 , a3 ... r = 2 Sn = 72 n = ? an = ?
Então aplica a fórmula do termo geral para encontrar an. Depois aplica a fórmula da soma dos termos e resolve o problema.
A) 6
B) 8
C) 10
D) 12
3) Se cada coelha de uma colônia gera três coelhas, qual o número de coelhas da 7ª geração que serão descendentes de uma única coelha?
DICA: Descobrir se é um P.A ou uma P.G e aplicar a fórmula geral.
A) 3000
B) 1840
C) 2187
D) 3216
4) Comprei um automóvel e vou pagá-lo em 7 prestações crescentes, de modo que a primeira prestação seja de 100 reais e cada uma das seguintes seja o dobro da anterior. Qual é o preço do automóvel?
DICA: Primeiro encontra o a7 e depois encontra a soma dos termos. Veja se é uma P.A ou UMA P.G
A) R$ 12 700,00
B) R$ 13 000,00
C) R$ 11 800,00
D) R$ 13 200,00
5)Numa PG de quatro termos, a razão é 5 e o último termo é 375. O primeiro termo dessa PG é
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
6)O número mensal de passagens de uma determinada empresa aérea aumentou no ano passado nas seguintes condições: em janeiro foram vendidas 33.000 passagens; em fevereiro, 34.500; em março, 36.000. Esse padrão de crescimento se mantém para os meses subsequentes. Quantas passagens foram vendidas por essa empresa em julho do ano passado?
DICA: Descubra se é P.A ou P.G e encontre a7.
a) 38.000
b) 40.500
c) 41.000
d) 42.000
e) 48.000