V AULA REMOTA DE MATEMÁTICA
Professora: Evany de Carvalho 2ª Série/Ensino Médio
Videoaula sugerida: https://www.youtube.com/watch?v=SUbr6zypkLA
Determinante de uma Matriz
O determinante de uma matriz é um número real associado a
ela, calculado segundo algumas regras. Define-se o conceito de determinante de
uma matriz para as matrizes quadradas.
Dada uma matriz A, indica-se o determinante da matriz pelo
número det A ou pelo símbolo │A│.
O determinante de uma matriz possui várias aplicações
atualmente. Utilizamos o determinante para verificar se três pontos estão
alinhados no plano cartesiano, para calcular áreas de triângulos, para
resolução de sistemas lineares, entre outras aplicações na matemática. O estudo
de determinantes não se limita à matemática, há algumas aplicações na física,
como no estudo de campos elétricos.
Calculamos determinantes somente de matrizes quadradas, ou
seja, matrizes em que a quantidade de colunas e a quantidade de linhas são
iguais. Para calcular o determinante de uma matriz, precisamos analisar a ordem
dela, ou seja, se ela é 1x1, 2x2, 3x3 e assim sucessivamente, quanto maior a
sua ordem, mais difícil será encontrar o determinante. No entanto, há métodos
importantes realizar-se o exercício, como a regra de Sarrus, utilizada para
calcular-se determinantes de matrizes 3x3.
Determinante de matriz de ordem 1
Uma matriz é conhecida como de ordem 1 quando possui
exatamente uma linha e uma coluna. Quando isso ocorre, a matriz possui um único
elemento, o a11. Nesse caso o determinante da matriz coincide com esse seu
único termo.
A = (a11)
det(A) = | a11 | = a11
Exemplo:
A = [2]
det(A) = |2| = 2
Para calcular-se determinantes de matrizes de ordem 1, é
necessário então apenas conhecer o seu único elemento.
Determinantes de matrizes de ordem 2
A matriz quadrada 2x2, conhecida também como matriz de ordem
2, possui quatro elementos, nesse caso, para calcular o determinante, é
necessário conhecermos o que é a diagonal principal e a diagonal secundária.
Para calcular o determinante de uma matriz de ordem 2,
calculamos a diferença entre o produto dos termos da diagonal principal e os
termos da diagonal secundária. Utilizando o exemplo algébrico que construímos,
o det(A) será:
Exemplo:
Propriedades do determinante
1ª propriedade
Caso uma das linhas da matriz seja igual a 0, então o seu
determinante será igual a 0.
Exemplo:
2ª propriedade
Seja A e B duas matrizes, det(A•B) = det(A) • det(B).
Exemplo:
Calculando os
determinantes separados, temos que:
det(A) = 2 • (-6) – 5 • 3
det(A) = -12 – 15 = -27
det(B) = 4 • 1 – 2 • (-2)
det(B) = 4 + 4 = +8
Então det(A) • det(B) = -27 • 8 = -216
Agora vamos calcular det(A•B)
3ª propriedade
Seja A uma matriz e A’ uma nova matriz construída
trocando-se as linhas da matriz A, então det(A’) = -det(A), ou seja, ao inverter-se a posição
das linhas de uma matriz, o seu determinante terá o mesmo valor, porém de sinal
trocado.
Exemplo:
