Colégio Estadual “Fausto Cardoso”
Disciplina: Matemática 3ª unidade
Profª Elen Carla
2 º anos A, B e D
Aula 1 – 03/12/2020
Vídeo para reforçar a
aprendizagem
https://www.youtube.com/watch?v=ms2PulxZV3M
Análise combinatória
A análise combinatória ou combinatória é a parte da Matemática que estuda
métodos e técnicas que permitem resolver problemas relacionados com contagem.
Muito utilizada nos
estudos sobre probabilidade, ela faz análise das possibilidades e das
combinações possíveis entre um conjunto de elementos.
Princípio Fundamental da Contagem
O princípio fundamental da
contagem, também chamado de princípio multiplicativo,
postula que:
“quando um
evento é composto por n etapas sucessivas e independentes, de tal modo que as
possibilidades da primeira etapa é x e as possibilidades da segunda etapa é y,
resulta no número total de possibilidades de o evento ocorrer, dado pelo
produto (x) . (y)”.
Em resumo, no princípio fundamental da contagem,
multiplica-se o número de opções entre as escolhas que lhe são apresentadas.
Exemplo
Uma lanchonete vende uma promoção de lanche a um preço único. No
lanche, estão incluídos um sanduíche, uma bebida e uma sobremesa. São
oferecidos três opções de sanduíches: hambúrguer especial, sanduíche
vegetariano e cachorro-quente completo. Como opção de bebida pode-se escolher 2
tipos: suco de maçã ou guaraná. Para a sobremesa, existem quatro opções:
cupcake de cereja, cupcake de chocolate, cupcake de morango e cupcake de
baunilha. Considerando todas as opções oferecidas, de quantas maneiras um
cliente pode escolher o seu lanche?
Solução
Podemos começar a resolução do problema apresentado, construindo
uma árvore de possibilidades, conforme ilustrado abaixo:
Acompanhando o diagrama, podemos diretamente
contar quantos tipos diferentes de lanches podemos escolher. Assim,
identificamos que existem 24 combinações possíveis.
Fatorial
O
fatorial de um número natural é definido como o produto deste número por todos
os seus antecessores. Utilizamos o símbolo ! para indicar o fatorial de um número.
Define-se ainda que o fatorial de zero é igual a 1.
Exemplo
0! = 1
1! = 1
3! = 3.2.1 = 6
7! = 7.6.5.4.3.2.1 = 5 040
10! = 10.9.8.7.6.5.4.3.2.1 = 3 628 800
Note que o valor do fatorial cresce rapidamente, conforme cresce
o número. Então, frequentemente usamos simplificações para efetuar os cálculos
de análise combinatória.
Permutação simples
As permutações são
agrupamentos ordenados, onde o número de elementos (n) do agrupamento é igual
ao número de elementos disponíveis.
Note que a permutação é um caso especial de arranjo, quando o
número de elementos é igual ao número de agrupamentos. Desta maneira, o
denominador na fórmula do arranjo é igual a 1 na permutação.
Assim a permutação é expressa pela fórmula:
Exemplo
Para exemplificar, vamos pensar de quantas maneiras diferentes 6
pessoas podem se sentar em um banco com 6 lugares.
Como a ordem em que irão se sentar é importante e o número de
lugares é igual ao número de pessoas, iremos usar a permutação:
Logo,
existem 720 maneiras
diferentes para as 6 pessoas sentarem neste banco.
Exemplo:
Considere
a palavra DILEMA e determine:
a) O número total de anagramas
P6 = 6! = 6.5.4.3.2.1= 720
b) O número de anagramas que começa com a
letra D
Para calcular fixamos a letra D e
permutamos as demais 5 letras, logo:
P5 = 5.4.3.2.1= 120
Atividade
no google forms
https://forms.gle/nEmUjXzmxFE3JDme8