Colégio Estadual “Fausto
Cardoso”
Disciplina: Matemática 3ª unidade
Profª Elen Carla
3 º anos B, C e D
Aula 1 – 03/12/2020
Vídeo para reforçar a aprendizagem
https://www.youtube.com/watch?v=1gvF_x8rs0A
Vídeo 2:
https://www.youtube.com/watch?v=suOlXkoxF64
Números
complexos
Os números complexos surgem a partir da
necessidade de resolução de equações que possuem raiz de números negativos,
o que, até então, não era possível de resolver-se trabalhando com os números
reais. Os números complexos podem ser representados de três formas: a forma algébrica (z
= a + bi),
composta por uma parte real a e
uma parte imaginária b;
a forma geométrica, representada
no plano complexo conhecido também como plano de Argand-Gauss; e a sua forma trigonométrica, conhecida
também como forma polar. Com base na sua representação, como estamos
trabalhando com um conjunto numérico, os números complexos possuem operações
bem definidas: adição, subtração, multiplicação, divisão e potenciação.
Pela
representação geométrica no plano complexo, definimos também o módulo
(representado por |z|) de um número
complexo — que é a distância do ponto que representa o número complexo até a
origem —, e o que é o argumento de um número complexo — que é o ângulo formado
entre o eixo horizontal e o seguimento que liga a origem ao ponto que
representa o número complexo.
Representação algébrica dos números complexos
Necessidade dos números complexos
Na matemática, a ampliação de um conjunto numérico
para um novo conjunto, ao longo da história, foi algo bastante comum. Acontece
que, nesse decorrer, a matemática desenvolveu-se, e então, para atender
as necessidades da época, foi percebido que existiam números que não
pertenciam ao conjunto numérico a que se referia. Foi assim com o surgimento
dos conjuntos numéricos dos inteiros, dos
racionais, dos irracionais e dos reais, e não foi diferente quando houve a
necessidade de ampliação do conjunto dos números reais para o dos números
complexos.
Ao tentarmos resolver equações do segundo
grau, é bastante comum que encontremos a raiz quadrada de um número
negativo, o que é impossível de ser resolvido no conjunto dos números
reais, por isso a necessidade dos números complexos. O início do estudo desses
números recebeu contribuições de matemáticos importantes, como Giralmo Cardono,
porém o conjunto deles foi formalizado por Gauss e Argand.
Forma algébrica de um
número complexo
Ao
tentar-se resolver uma equação do segundo grau, como x² = –25, muitas vezes ela
era dita como sem solução. Não obstante, na tentativa de algebrizar, surgiu
então a representação
algébrica, que possibilita a realização de operações com esses números,
ainda que não se consiga calcular a raiz quadrada de um número negativo.
Para
facilitar a resolução das situações em que se trabalha com a raiz quadrada de um número negativo,
foi definida a unidade
imaginária.
Então, analisando-se a equação
apresentada x² = -25, temos que:
Desse modo, as soluções para a equação são -5i e 5i.
Para definir-se a forma algébrica, foi utilizada
a letra i, conhecida como unidade
imaginária de um número complexo. Um número complexo é representado por:
z = a + bi
Em que a e b são
números reais.
a: parte real, indicada por a = Re(z);
b: parte imaginária, indicada por Im(z);
i: unidade imaginária.
·
Exemplos
a) 2 + 3i
b) -1 + 4i
c) 5 – 0,2i
d) -1 – 3i
Quando a parte real é nula, o número é
conhecido como imaginário puro, por exemplo, –5i e 5i são
imaginários puros por não possuírem parte real.
Quando a
parte imaginária é nula, o número complexo é também um número real.
Atividade
no google forms
https://forms.gle/DJTyLG5xHDAQQ6U96