II AULA REMOTA DE
MATEMÁTICA (4ª Unidade)
Professora:
Evany de Carvalho 2ª Série/Ensino Médio
Turma: C
Videoaula
sugerida: https://www.youtube.com/watch?v=hnEJY3L24QU
Arranjos e permutações
simples
Arranjos
Arranjos são
agrupamentos nos quais a ordem dos seus elementos faz a diferença (p < m).
Os arranjos são distintos entre si pela ordem ou pela espécie. Existem dois
tipos:
– Arranjo
simples
– Arranjo com
repetição
Arranjo simples
No arranjo
simples não encontramos a repetição de qualquer elemento em cada grupo de p
elementos. Por exemplo, os números de três algarismos formados pelos elementos
(1, 2, 3) são:
312, 321,
132, 123, 213 e 231.
Como pudemos
perceber os elementos não se repetem. O arranjo simples tem como fórmula:
Exemplo:
Considere os
algarismos 1,2,3,4 e 5. Quantos números com algarismos distintos, superiores a
100 e inferiores a 1.000, podemos formar?
Resolução:
O problema
solicita que encontremos todos os números com três algarismos distintos uma vez
que, todos os números maiores que 100 e menores que 1.000 têm três dígitos.
Dessa forma, temos cinco algarismos disponíveis e usar três deles para formar
números de três algarismos distintos. A solução do problema será o arranjo
simples de 5 elementos tomados 3 a 3. Ou seja,
Exemplo:
Permutações
Permutações
ocorrem quando formamos agrupamentos com m elementos, de forma que os m
elementos sejam distintos entre si pela ordem.
As
permutações podem ser de três tipos:
Permutações simples;
Permutações com repetição;
Permutações circulares.
Permutações simples
São
agrupamentos formados com todos os m elementos distintos. Como cálculo de
exemplo podemos utilizar: Ps (3) = 3! = 6
Sua formula é: Pn = n!
Deve ser
utilizada quando queremos contar quantas possibilidades existem de se organizar
um número de objetos de forma distinta.
Exemplo:
De quantas
maneiras pode-se colocar 4 pessoas em fila?
Resolução
Note que,
temos 4 pessoas que podem ocupar o 1o lugar da fila. Daí, colocada a primeira
pessoa na fila, restam 3 pessoas que podem ocupar o 2o lugar da fila. Em
seguida, colocada a 2a pessoa, agora restam duas pessoas que podem ocupar o 3o
lugar da fila. E por fim, colocada a segunda pessoa na fila, sobra uma pessoa
para ocupar a última posição. Pelo Princípio Multiplicativo, teremos
4 . 3 . 2 . 1 = 4 ! = 24
Exemplo:
Exemplo: De
quantas maneiras diferentes podemos organizar 5 pessoas em uma fila?
P5 = 5!
= 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120
Isso é uma
permutação de 5 elementos. Afinal, vamos fazer um grupo ordenado de 5
elementos, tendo exatamente 5 disponíveis. Assim:
II ATIVIDADE DE
AVERIGUAÇÃO DA APRENDIZAGEM ( 4ª UNIDADE)
Componente
curricular: Matemática 2ª Série/Ensino médio
Professora:
Evany de Carvalho Turma:
C
Vídeoaula
sugerida: https://www.youtube.com/watch?v=lHiMcxLYyds
1) Em uma
empresa, quinze funcionários se candidataram para as vagas de diretor e
vice-diretor financeiro. Eles serão escolhidos através do voto individual dos
membros do conselho da empresa. Vamos determinar de quantas maneiras distintas
essa escolha pode ser feita.
Trata-se de um
agrupamento de 15 pessoas tomadas 2 a 2.
a) 110
maneiras
b) 210
maneiras
c) 290
maneiras
d) 310
maneiras
e) 350
maneiras
2)Um número
de telefone é formado por 8 algarismos. Determine quantos números de telefone
podemos formar com algarismos diferentes, que comecem com 2 e terminem com 8.
O número 2
deve ser fixado na 1ª posição e o 8 na última. Restaram, por tanto, 6 posições
e 8 algarismos, pois eles precisam ser diferentes. Considerando que a ordem dos
algarismos diferencie dois números de telefone, vamos arranjar 8 algarismos 6 a
6.
a) 20 110
números.
b) 20 120
números.
c) 20 150
números.
d) 20 160
números.
e) 20180 números.
3) Os
resultados do último sorteio da Mega-Sena foram os números 04, 10, 26, 37, 47 e
57. De quantas maneiras distintas pode ter ocorrido essa sequência de
resultados?
a) 120
b) 320
c) 520
d) 620
e) 720
4)Em uma sala há 8 professores de matemática, 10 de português e 4 de Biologia. Queremos formar grupos de dois professores de cada matéria. De quantas maneiras distintas podemos organizar esses grupos?
a) 100
b) 200
c) 180
d) 152
e) 162