Colégio Estadual “Fausto Cardoso”
Disciplina: Matemática 4ª unidade
Profª Elen Carla
2 º anos A, B e D
Aula 2 – 21/01/2021
Vídeo
Termo geral
Triângulo de Pascal
Triângulo de Pascal é um triângulo
aritmético infinito onde são dispostos os coeficientes das expansões
binominais. Os números que compõem o triângulo apresentam diversas propriedades
e relações.
Essa
representação geométrica foi estudada pelo matemático chinês Yang Hui
(1238-1298) e por muitos outros matemáticos.
Entretanto,
os estudos mais famosos foram do matemático italiano Niccolò Fontana Tartaglia
(1499-1559) e do matemático francês Blaise Pascal (1623-1662).
Sendo
que Pascal estudou mais profundamente o triângulo aritmético e provou várias de
suas propriedades.
Na
antiguidade, esse triângulo era usado para o cálculo de algumas raízes. Mais
recentemente, ele é utilizado no cálculo de probabilidades.
Além
disso, os termos do binômio de Newton e da sequência de Fibonacci podem ser
encontrados a partir dos números que constituem o triângulo.
Construção do Triângulo
O triângulo de Pascal é
construído colocando-se os números binomiais de mesmo numerador na mesma linha
e os coeficientes de mesmo denominador na mesma coluna. Assim, temos:
Ao calcular os valores dos coeficientes, encontramos a seguinte
representação do triângulo de Pascal:
Verifique no
triângulo de Pascal as seguintes propriedades:
1ª) Um
“cateto” e a “hipotenusa” do triângulo de Pascal são formados por 1.
2ª) Em cada
linha os termos equidistantes dos extremos são iguais.
3ª) A soma de
dois elementos consecutivos de uma linha é igual ao elemento da linha seguinte,
imediatamente abaixo da segunda parcela da soma.
4ª) A soma
dos elementos de cada linha do triângulo é uma potência de 2, cujo expoente é o
número da linha.
Binômio de Newton
O Binômio de Newton é
a potência da forma (x+y)n, sendo x e y números reais e n um número natural.
Para valores pequenos de n a
expansão do binômio pode ser feita multiplicando seus fatores.
Contudo,
para expoentes maiores esse método pode se tornar muito trabalhoso. Assim,
podemos recorrer ao triângulo de Pascal para determinar dos coeficientes
binomiais dessa expansão.
Podemos
representar a expansão do binômio (x+y)n, como:
Note
que os coeficientes da expansão correspondem aos números binomiais, e esses
números são os que formam o triângulo de Pascal.
Assim, para
determinar os coeficientes da expansão (x+y)n , devemos
considerar a linha n correspondente
do triângulo de Pascal.
Exemplo
Desenvolva
o binômio (x + 3)6:
Solução:
Como
o expoente do binômio é igual a 6, iremos utilizar os números relativos a 6.ª
linha do triângulo de Pascal para os coeficientes dessa expansão. Assim, temos:
6ª
linha do triângulo de Pascal: 1 6 15 20 15 6 1
Esses
números serão os coeficientes do desenvolvimento do binômio.
(x
+ 3)6 = 1 . x6. 30 + 6 . x5.
31+15 . x4. 32 + 20 . x3. 33 +
15 . x2. 34 + 6 . x1. 35+1. x0.
36
Resolvendo
as operações encontramos a expansão do binômio:
(x
+ 3)6 = x6 +18 . x5 +135 x4 +
540 x3 + 1215 x2 + 1458 x + 729
Termo Geral do
Binômio de Newton
O
termo geral do binômio de Newton é dado por:
Exemplo
Qual
é o 5º termo do desenvolvimento de (x + 2)5, de acordo com as
potências decrescentes de x?
Como
queremos T5 (5º termo), então 5 = k +1 ⇒
k = 4.
Substituindo
os valores no temos geral, temos:
Exercícios
Resolvidos
1)Qual o desenvolvimento do binômio (a - 5)4 ?
É importante notar que podemos escrever o binômio como sendo (a + (- 5))4. Neste caso faremos como mostrado para termos positivos.
Atividade 2
1) Utilizando o
desenvolvimento do binômio de Newton, calcule o desenvolvimento da expressão
(2x + 1)4.
2) Considere o binômio
(x – 3)5 e determine o termo independente de seu
desenvolvimento.
3) Determine o 7º termo
do desenvolvimento de (x+1)9.
4) Desenvolva os seguintes binômios:
a)
(x
+ 2)3
b)
(x
+ 3)4
c)
(x
– 1)6
5) Faça um breve resumo falando sobre o Triângulo de Pascal. Escreva o triangulo ate a 10ª linha.