Colégio Estadual “Fausto Cardoso”
Disciplina: Matemática 4ª unidade
Profª Elen Carla
2 º anos A, B e D
Aula 3 – 28/01/2021
Vídeo com
resolução de exercícios
Binômio de Newton
O Binômio de Newton é a potência da
forma (x+y)n, sendo x e y números reais
e n um
número natural. Para valores pequenos de n a
expansão do binômio pode ser feita multiplicando seus fatores.
Contudo,
para expoentes maiores esse método pode se tornar muito trabalhoso. Assim,
podemos recorrer ao triângulo de Pascal para determinar dos coeficientes
binomiais dessa expansão.
Podemos
representar a expansão do binômio (x+y)n, como:
Note
que os coeficientes da expansão correspondem aos números binomiais, e esses
números são os que formam o triângulo de Pascal.
Assim, para
determinar os coeficientes da expansão (x+y)n , devemos
considerar a linha n correspondente
do triângulo de Pascal.
Exemplo
Desenvolva
o binômio (x + 3)6:
Solução:
Como
o expoente do binômio é igual a 6, iremos utilizar os números relativos a 6.ª
linha do triângulo de Pascal para os coeficientes dessa expansão. Assim, temos:
6ª
linha do triângulo de Pascal: 1 6 15 20 15 6 1
Esses
números serão os coeficientes do desenvolvimento do binômio.
(x
+ 3)6 = 1 . x6. 30 + 6 . x5.
31+15 . x4. 32 + 20 . x3. 33 +
15 . x2. 34 + 6 . x1. 35+1. x0.
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Resolvendo
as operações encontramos a expansão do binômio:
(x
+ 3)6 = x6 +18 . x5 +135 x4 +
540 x3 + 1215 x2 + 1458 x + 729
Termo Geral do
Binômio de Newton
O
termo geral do binômio de Newton é dado por:
Exercícios
resolvidos:
1) Utilizando o desenvolvimento do binômio de Newton, calcule o
desenvolvimento da expressão (2x + 1)4.
2) Desenvolva o binômio (x + 9)³.
Portanto, ao resolver o binômio acima chegamos ao polinômio de grau 3 abaixo:
3) Determine o 7º termo do binômio (2x + 1)9 ,
desenvolvido segundo as potências decrescentes de x.
Solução:
Vamos aplicar a fórmula do termo
geral de (a + b)n , onde a = 2x , b = 1 e n = 9. Como queremos
o sétimo termo, fazemos p = 6 na fórmula do termo geral e efetuamos os cálculos
indicados. Temos então:
T6+1 = T7 =
C9,6 . (2x)9-6 . (1)6 = 9!
/[(9-6)! . 6!] . (2x)3 . 1 = 9.8.7.6! / 3.2.1.6! . 8x3 =
84.8x3 = 672x3. Portanto o sétimo termo procurado é
672x3.
4) Qual a soma dos coeficientes dos termos do
desenvolvimento de :
|
a) (2x - 3y)12 ? |
Resp: 1 |
|
b) (x - y)50 ? |
Resp: 0 |
Solução:
a) basta fazer x=1 e y=1. Logo, a
soma S procurada será: S = (2.1 -3.1)12 = (-1)12 =
1
b) analogamente, fazendo x = 1 e
y = 1, vem: S = (1 - 1)50 = 050 = 0.
Exercícios
1) Determine a
soma dos coeficientes do desenvolvimento de (x - 3y)7 .
2) Dado o binômio (x –
6)5, realize a soma dos seus coeficientes após o desenvolvimento.
3) Seja o binômio (x + 1)10,
determine o termo independente do desenvolvimento.
4)
Calcule o termo independente de x no desenvolvimento de (x2 + 1/x)9.
5) O
coeficiente de no desenvolvimento do binômio é:
A) 105
B) 360
C) 480
D) 210
E) 420